Curvas cónicas: definiciones en la nieve

 Hace frío; la ciudad se despierta bajo un manto blanco o, más bien, un edredón grueso de más de cuarenta centímetros. En la plaza un árbol de navidad a medio desmontar llama tu atención. Lo que era un cono de alambre y bombillas ha quedado seccionado a media altura por un plano inclinado ficticio. Su contorno dibuja una elipse perfecta. Sonríes, traviesa geometría, aparece en todas partes. Hace apenas una hora que terminaste de estudiar las curvas cónicas.

“Las curvas cónicas se obtienen al seccionar por un plano una superficie cónica de revolución generada, a su vez, por una recta, la generatriz, que gira alrededor de otra, el eje. Ambas se cortan en un punto, el vértice.” Repasas en tu mente los párrafos siguientes: “Según el ángulo que forme el plano de corte con respecto al eje del cono se obtiene una elipse, una parábola, una hipérbola, una circunferencia o, incluso, un punto o dos rectas, también conocidas como cónicas degeneradas.”

Recorres con los dedos el borde de la elipse, retirando la nieve. El plano secante forma con el eje un ángulo mayor que el semiángulo del vértice del cono (α < β), no pasa por el vértice y corta a todas las generatrices, dando lugar a una curva cerrada. En la parábola, el plano es paralelo a la generatriz, α = β , formando una curva abierta. Mientras, en la hipérbola, α > β, se trata de una curva abierta de dos ramas. Las cónicas degeneradas, (un punto o dos rectas), se obtienen cuando el plano de corte pasa por el vértice.

Reconstruyes mentalmente el cono completo con dos esferas inscritas, tangentes a su superficie y al plano sección. Los focos de las curvas cónicas son los puntos de tangencia de las esferas con el plano. En el caso de la parábola, solo es posible inscribir una esfera, existiendo un único foco. En la elipse y la hipérbola, las dos esferas inscritas determinan dos focos. Incorporas un nuevo plano que contiene a la circunferencia de tangencia entre el cono y la esfera. Su intersección con el plano generador de la curva determina la directriz.

Comienzas a trasladar los pensamientos a torpes dibujos a punta de bastón sobre una capa demasiado gruesa de nieve: una elipse, un punto sobre ella, dos ejes, su centro, sus focos. Recuerdas la segunda definición de las curvas: la elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante e igual a 2a (longitud del eje mayor). La parábola, es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (foco) y una recta fija (directriz). Mientras, la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante e igual a 2a, longitud del eje mayor.

Continúas trazando una circunferencia con centro un foco y radio 2a, la circunferencia focal. Recuerdas la definición de la elipse como lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por un foco y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco. Un nuevo giro de bastón describe una circunferencia de centro el vértice de la curva y diámetro 2a: la circunferencia principal. La circunferencia principal es, además, el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares a las tangentes a la curva trazadas desde los focos.

Un niño interrumpe tu repaso geométrico. ¡Cuidadoooo! grita, poco antes de borrar los esquemas y empujarte al suelo con un trineo improvisado. Lo siento muchísimo, suspira una madre preocupada que te ofrece su mano para incorporarte. No ha sido nada, murmuras entre risas. Antes de levantarte, agitas brazos y piernas, como si de un compás se tratase: tantos años sin hacer ángeles en la nieve, suspiras. La geometría tendrá que esperar a casa. Al menos, los elementos y principales definiciones de las curvas cónicas están revisados. Esta tarde sigo con tangencias y problemas y, ¡listo!, piensas. Continúas el paseo, bajando por Arenal hasta Ópera, el Palacio Real, los Jardines de Sabatini. Madrid está irreconocible, más parecida a una ciudad nórdica que a una capital mediterránea. ¿Qué más nos deparará este año?