Proyección cónica y cilíndrica

 Hasta el momento, todos los problemas abordados en el blog estaban inscritos en el marco de la geometría plana o euclidiana, que como su propio nombre indica, se ocupa de las formas geométricas en el plano. Por su parte, la geometría proyectiva estudia las relaciones entre las figuras tridimensionales del espacio y sus proyecciones sobre un plano. Analiza las propiedades que se conservan en una proyección, estudiando las posiciones relativas de los elementos en el plano y en el espacio, sin importar su métrica, es decir, las medidas ni los ángulos de las figuras. Sentará las bases conceptuales para la geometría descriptiva que comprende los distintos sistemas de representación.

 Al proyectar una figura, estamos pasando de un sistema tridimiensional a uno bidimiensional. Para ello, necesitamos, en primer lugar, establecer un centro de proyección. Si el centro de proyección es un punto propio, hablaremos de proyección cónica. Mientras, si el centro de proyección es un punto impropio, es decir, está en el infinito, la proyección es cilíndrica. Una vez establecido el centro de nuestra proyección serán necesarias dos operaciones: radiar la figura, es decir, hacer pasar por sus vértices rayos que salen del centro de proyección, y seccionar dichos rayos por el plano de proyección. 

Según la posición, el número de planos y centros de proyección obtendremos los distintos sistemas de representación.

Tipos de proyección. Fuente

Abordaremos únicamente algunas de las propiedades fundamentales de ambos tipos de proyección. En el caso de la proyección cilíndrica se mantiene la razón simple (Teorema de Thales): si M es el punto medio de un segmento AB en el espacio, su proyección cilíndrica, M’ seguirá siendo el punto medio de A’B’ proyectado. No ocurre esto en la proyección cónica, donde únicamente se conserva la razón doble. En proyección cónica, tampoco se mantienen las propiedades métricas como el paralelismo, la perpendicularidad, la igualdad o la semejanza; las longitudes, los ángulos ni las áreas. Sin embargo, en proyección cilíndrica sí se conserva el paralelismo. Además, en ambos casos se conservan la incidencia (estar en o pasar por), la intersección, la tangencia y las denominadas propiedades proyectivas (razón doble, polaridad, etc.).

Las proyecciones cilíndricas pueden ser además de dos subtipos según la dirección de los rayos proyectantes sea normal al plano de proyección (proyección cilíndrica ortogonal) u oblicua (proyección cilíndrica oblicua).

Para asimilar las propiedades básicas de las proyecciones cilíndrica y cónica os propongo un pequeño ejercicio. ¿Os acordáis del baricentro, ese gran desconocido? ¡Vamos a retomarlo!

Dada la proyección cilíndrica ortogonal del centro de proyección V’’ y 3 puntos en sus proyecciones cónicas y en sus proyecciones cilíndricas ortogonales, se pide:

a)      ¿Cuáles son las proyecciones del baricentro del triángulo?

b)      Si la altura del centro de proyección V es R, determinar el cuadrado equivalente del triángulo.

Enunciado

La primera pregunta hace referencia a cuestiones topológicas, no siendo necesario conocer la altura del centro de proyección. ¿Cómo lo abordamos entonces? Sabemos que, en proyección cilíndrica, se mantiene la razón simple y, por tanto, los puntos medios de los lados del triángulo se proyectan como puntos medios de los segmentos proyectados. Así, podemos obtener fácilmente la proyección cilíndrica de las medianas: al conservarse la incidencia, las medianas del triángulo proyectado seguirán pasando por la proyección de un vértice y el punto medio del lado opuesto. Al conservarse la intersección, la proyección del baricentro, seguirá siendo la intersección de las medianas del triángulo proyectado:

 En proyección cónica, no se mantiene la razón simple; la proyección del punto medio de los lados no estará en el punto medio del segmento proyectado. Sin embargo, sabemos que dicha proyección estará alineada con el centro de proyección y los puntos medios de los lados en proyección cilíndrica. Las rectas de unión Ma’’V’’, Mb’’V’’, Mc’’V’’, (proyección cilíndrica de los rayos proyectantes), determinan sobre el triángulo en proyección cónica, los puntos medios buscados. Al conservarse la incidencia y la intersección, también en proyección cónica, obtenemos el baricentro como intersección de las medianas.

Pasamos ahora a la parte métrica del problema (b). Para obtener el cuadrado equivalente al triángulo necesitamos, en primer lugar, obtener la verdadera magnitud del triángulo. Conociendo la altura del punto V, podemos obtener fácilmente la altura de los distintos vértices de la figura, reconstruyendo el triángulo espacial que liga la altura de cada vértice con el centro de proyección, su proyección cilíndrica y la proyección cónica del mismo. Ejemplifiquémoslo con el vértice A: reconstruimos el triángulo V’’VA abatiéndolo sobre el plano de proyección, tomando para ello como charnela la proyección cilíndrica del rayo proyectante V’’A. Por Tales, obtenemos la altura de (A).

Podríamos hacer la misma operación para obtener la altura de los restantes vértices. Sin embargo, no es el único procedimiento. La prolongación de la proyección cónica y cilíndrica de los lados determina puntos pertenecientes al plano de proyección (I,J) y por tanto, con cota 0 respecto al mismo. Ya hemos hallado la altura de uno de los vértices, usamos un nuevo abatimiento, con charnela el lado en proyección cilíndrica, y obtenemos la altura de los vértices restantes. Pero no solo estamos obteniendo la altura en verdadera magnitud. Si no también la verdadera magnitud de los lados. El abatimiento es un procedimiento habitual para la obtención de verdaderas magnitudes de longitudes y ángulos que aplicaremos muy frecuentemente en sistema diédrico, pero eso es otra historia y con ella, un nuevo artículo.

Construimos un triángulo rectángulo con las verdaderas magnitudes de los lados recién halladas y obtenemos el cuadrado equivalente. Para ello, basta con hallar primero un rectángulo equivalente de altura la mitad de la base del triángulo. El cuadrado equivalente tendrá de lado la semisuma de los dos lados del rectángulo (A=a*h²/2=a*b=l²)

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