PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

¡Hola de nuevo!

El otro día introducíamos uno de los puntos notables del triángulo, el baricentro, pero no es el único. Existen otros centros, cuyas peculiaridades es importante conocer. Todos ellos tienen algo en común: son la intersección de las rectas notables del triángulo.

Las mediatrices y el circuncentro. Revisemos la definición de mediatriz de un segmento o lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Aplicado a nuestro triángulo, hablaremos siempre de las mediatrices de sus lados y su intersección determinará el circuncentro. El circuncentro, es además centro de la circunferencia circunscrita.

Nos resultará fácil entender el porqué si asociamos los conceptos de mediatriz y circunferencia. La primera, como hemos visto, conserva la equidistancia entre dos puntos; la segunda se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro. En ambos casos, el término equidistancia está implícito. No es casualidad, por tanto, que el punto de corte de las mediatrices de los lados de un polígono sea el centro de la circunferencia que lo inscribe.

Circuncentro e incentro

Las bisectrices, el incentro y excentros. Recordemos que la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. Las bisectrices del triángulo serán, de este modo, las rectas que dividen sus ángulos en dos partes iguales. Se intersecan en el incentro, o centro de la circunferencia inscrita en el polígono y tangente, por tanto, a sus lados. La perpendicular desde el incentro a los mismos determinará el punto de tangencia y su longitud, el radio.

Hasta ahora, estamos trabajando con las bisectrices interiores del triángulo. Pero, ¿qué ocurre con las bisectrices exteriores?

Excentros

Si dibujamos una bisectriz interior al triángulo y las otras dos exteriores, encontramos el excentro. Este punto notable equidista de los tres lados del triángulo o de sus prolongaciones, siendo la distancia desde el punto a los lados, radio de la circunferencia exinscrita.

¿Para qué nos sirve todo esto? Bueno, al hablar de bisectrices y de circunferencias encontramos una especial aplicación en tangencias. Por ejemplo, para encontrar las circunferencias tangentes a tres rectas secantes dos a dos.

Las alturas y el ortocentro. Recordemos que las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a un lado trazadas desde el vértice opuesto. Su punto de intersección se denomina ortocentro. Pero, ¿por qué este nombre? Si atendemos a la etimología de la palabra, orto, del griego, significa perpendicular, ortogonal, recto. Tiene sentido, entonces, que el punto de intersección de las rectas perpendiculares a los lados reciba este nombre.

Ortocentro y triángulo órtico

Probablemente, el ortocentro fuese un viejo conocido. ¿Qué ocurre si unimos los pies de las tres alturas? Al unir los puntos de intersección de las alturas con los lados, dibujamos un nuevo triángulo, el triángulo órtico.

La peculiaridad reside en que las alturas del primer triángulo son las bisectrices de los ángulos interiores de su triángulo órtico y con ello, el ortocentro del primero es incentro del segundo. ¡Ay, va! ¿Os atrevéis a demostrarlo?*

Baricentro

Las medianas y el baricentro. Solo nos faltaría recordar el baricentro para completar los principales puntos notables del triángulo. Decíamos que el baricentro, ese gran desconocido, era el punto de intersección entre las medianas o rectas que unen los vértices con los puntos medios de los lados opuestos. Distaba 2/3 del vértice y 1/3 del lado correspondiente y además era el centro geométrico de la figura.

Antes de concluir, hagamos un último ejercicio. Dibujemos los puntos notables de un mismo triángulo. ¿Qué ocurre? Efectivamente, el ortocentro, baricentro y circuncentro están alineados. La recta que los une se denomina recta de Euler. 

Recta de Euler

Suficiente geometría por hoy. ¡Hasta pronto!

 

 

*Pista, pensar en cuadriláteros circunscriptibles, ¿qué ángulos son iguales? La demostración se resolverá en futuras entradas.