Reducción de problemas de geometría

 Un pequeño relato

El metro avanza tras un día agotador. Tan solo son las dos de la tarde y ya has tenido tres exámenes; mañana otro, de dibujo. A las seis, te esperan tus clases de natación e inglés. El tiempo de estudio se peleará un día más con tus párpados y las ganas de abrazar la cama. Más de veintidós ejemplos de tangencias, ¡solo de tangencias!, murmullas enfadado. El reloj nunca fue tu aliado.

Abres el libro entre estación y estación, resistiéndote al impulso de tirarlo. Necesitas ser práctico. Echas un vistazo a las primeras páginas: circunferencia tangente a dos rectas, a tres; circunferencia tangente a una recta, dado el radio y el punto de tangencia; circunferencia tangente a una recta y una circunferencia conocido el radio,…. En realidad, parece sencillo. El recetario de problemas repite una y otra vez las mismas propiedades: mediatriz, bisectriz, circunferencia,.... Son todo lugares geométricos.

Sigues leyendo por encima los ejemplos, mientras garabateas un esquema con los principales conceptos necesarios para resolverlos:

1.       Lugares geométricos

2.       Dilataciones

3.       Homotecia

4.       Potencia

5.       Inversión

La agrupación está clara, pero sigue habiendo demasiadas posibilidades…. ¿Y si pregunta justo lo que no sabes? Preocupado, buscas en internet “resumen de tangencias en pocos casos”. Encuentras un blog, piziadas, que habla de un “Problema Fundamental de Tangencias”, debe ser importante, piensas. Terminas de leer el artículo, asombrado y maravillado: ¡has reducido una página entera a un solo caso!

Sabiendo resolver el PFT (Circunferencia que pasa por dos puntos y es tangente a una recta), también sabes resolver las circunferencias tangentes a dos rectas que pasan por un punto:

Para que sea tangente a las rectas, la circunferencia deberá equidistar  de ambas. Si además tiene que pasar por el punto P, esta equidistancia se puede conseguir obligando a la circunferencia a pasar por el simétrico de P, P’. Con ello, podemos    obviar la otra recta: hemos reducido el problema al PFT.

Además, por inversión, una circunferencia (que pasa por el centro de inversión) es la figura inversa de una recta (que no pasa por él). Sabiendo que se conserva la tangencia en la inversión, podemos transformar una circunferencia en una recta (y viceversa) para resolver problemas de tangencia. De este modo, también se reduce el problema de circunferencias tangentes a otra dada que pasen por dos puntos al Problema Fundamental de Tangencias.

Podré dormir, suspiras aliviado. Empaquetas la bolsa de deporte y sales de casa. En el autobús, repasas “El Problema” y anotas algunas ideas básicas:

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 A veces la geometría parece una lista interminable de casos aislados. Sin embargo, en muchas ocasiones, solo es necesario recordar algunos conceptos para solucionarlos. La reducción de problemas geométricos es una forma habitual de resolver ejercicios complejos. No siempre es evidente; es necesario tener verdaderamente interiorizados los conceptos para saber cómo aplicarlos. Las ideas no suelen caer del cielo, es probablemente recomendable haberse enfrentado a distintos ejemplos “aunque se reduzcan a lo mismo”, pero siempre relacionándolos y razonándolos.

El tiempo suele ser nuestro peor enemigo, pero en ocasiones, se convierte en nuestro mejor aliado obligándonos a sintetizar la complejidad.