Curvas cónicas: elipse y tangentes

Después de aprender las principales definiciones y elementos de las curvas cónicas en la entrada anterior, hoy os propongo un problema para aplicar los conceptos en el caso concreto de la elipse. ¿Os atrevéis a resolverlo?

Se conoce de una elipse su vértice, foco y una recta tangente. Se pide determinar: 

a)    El centro de la cónica

b)   Las tangentes desde el punto R exterior

c)       Los puntos de tangencia

enunciado

¡Comprueba la solución en el siguiente Geogebra!

PROCEDIMIENTO

Determinación Foco F₂: 1. Hallamos el simétrico del foco F_1 con respecto  a t. 2. Hallamos el simétrico del foco F_1 con respecto a la tangente en el vértice A_1. 3. Los simétricos del foco respecto de  las tangentes pertenecen a la circunferencia focal. por ello, el centro de esta (foco buscado F_2)estará en la mediatriz entre F_1' y F_1''.

Centro O: el centro de la elipse se encuentra en la mediatriz de F₁F₂

Eje mayor: el extremo del eje mayor buscado, A₂ será el simétrico de respecto de O

Eje menor: como los extremos del eje menor pertenecen a la elipse, tendrán que cumplir que la suma de distancias a los focos es igual a la longitud del eje mayor 2a. Dado que se encuentran en la mediatriz entre ambos, estarán a una distancia a de cada foco. La intersección de los arcos de centro F₁ (o F₂) y radio a, determina sobre la mediatriz F₁F₂,  los extremos del eje menor B₁ y B₂.

Tangentes desde R: 1. El foco F₂ y sus simétricos respecto de las tangentes buscadas equidistan de R. por tanto pertenecen a la circunferencia de centro R y radio RF₂. 2. El foco F₂ y sus simétricos respecto de las tangentes buscadas pertenecen a la circunferencia focal de centro el otro foco F₁. 3. La intersección entre ambas circunferencias determina los simétricos de los focos respecto de las tangentes. 4. Las tangentes serán las mediatrices de los segmentos con extremo el foco y los simétricos.

Puntos de tangencia: los puntos de tangencia están en la intersección entre las tangentes y la unión de los simétricos F₂’ y F₂’’ con el foco contrario F₁.