Determinación del inverso de un punto. Estudio de construcciones

 ¡Hola discontinuos!

En el pasado artículo, reducción de problemas geométricos, dejábamos caer el concepto de inversión y su aplicación fundamental en tangencias. Hoy repasaremos cómo invertir un punto de tres formas distintas, dado el centro y la potencia de la inversión. Para ello será necesario recordar algunos conceptos fundamentales. Empecemos por definir ¿qué es una inversión?

La inversión es una transformación geométrica anamórfica (no se conservan ni magnitudes ni formas de las figuras), en la cual los puntos homólogos están alineados con otro punto fijo, centro de la inversión. El producto de las distancias de los puntos al centro de inversión es constante y lo denominaremos potencia de inversión, k² =IP x IP’. Cuando k² es positiva los puntos están en la misma semirrecta, si es negativa en semirrectas opuestas, es decir, a distinto lado del centro de inversión.

Inversión positiva y negativa

¿Qué propiedades fundamentales caracterizan esta transformación?

1.       Derivado de la propia definición de potencia extraemos que pares de puntos inversos son concíclicos, es decir, pertenecen a la misma circunferencia.

2.       Las rectas que unen dos puntos y sus inversos son antiparalelas. Es decir, el ángulo que forman AA’ con A’B’ y AB, es el mismo que el de BB’ con AB y A’B’ respectivamente.

Cuando el centro de una inversión coincide con el centro de una circunferencia existen dos posibles autoinversiones que relacionan la circunferencia consigo misma: k²=r² y k²=-r², en ambos casos, la circunferencia de centro I y radio k, se denomina circunferencia de autoinversión.

Circunferencias de autoinversión

Con k² positiva, los puntos de la circunferencia de autoinversión son homólogos de sí mismos y, por tanto, la circunferencia de autoinversión es doble constituida por puntos dobles. Sin embargo, con k² negativa, los puntos inversos no son dobles (están a lados contrarios del centro de inversión) transformándose en sus diametralmente opuestos. De este modo, la circunferencia es doble pero no existen puntos dobles.

Introducidas brevemente los conceptos fundamentales, pasaremos a abordar el problema propuesto: invertir un punto conociendo el centro de inversión y el radio de la circunferencia de autoinversión. Las bases conceptuales empleadas para alcanzar el resultado son variadas, escogeremos algunas de las más significativas:

a)     Puntos concíclicos

El primer camino para determinar el inverso de un punto, parte de la primera propiedad fundamental: pares de puntos inversos son concíclicos, es decir, pertenecen a la misma circunferencia.

Si conociésemos dos puntos inversos y quisiésemos hallar el homólogo de un tercero, la solución sería trivial: bastaría con trazar las mediatrices de los segmentos que unen los puntos y determinar la circunferencia inversa de sí misma. El problema se complica algo más según los datos de partida, aunque pensándolo bien, se reduce a lo mismo: conocemos el centro y dos puntos homólogos, aunque estos son, puntos dobles. El centro de la circunferencia buscada, estará en la intersección de la mediatriz QP y, lo que antes era la mediatriz QQ’, al ser coincidentes, pasa a ser la tangente por Q=Q’ a la circunferencia de autoinversión.

Solución por potencia

b)      Teorema del cateto

Otro procedimiento válido, consiste en aplicar el teorema del cateto, según el cual, el cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa: c²=a*x. Aplicado a nuestros datos, resulta k²=IP*IP’. Conocemos k y P, construimos el triángulo rectángulo y determinamos P’.

Solución por Teorema del Cateto

c)       Tales

También podremos determinar el punto inverso buscado aplicando Tales. Tenemos la inversión definida por la potencia k²=IP*IP’, que expresado en forma de cociente resulta k/IP=IP’/k.  Conocemos k e IP, por tanto, podemos aplicar tales para determinar IP’.

Solución por Tales

¡Ojo! No olvidemos que Tales no determinar la posición del punto P’, solo nos sirve para hallar la dimensión IP’. Para ubicarlo correctamente, bastará con trasladar el punto P’ sobre la recta IP (dado que los puntos homólogos están alineados con el centro de inversión).

Podríamos seguir desarrollando otros procedimientos, pero lo dejamos aquí por hoy. ¡Hasta pronto!