Curvas cónicas: parábola y tangentes

Hemos estudiado las principales definiciones y elementos delas cónicas, también aplicamos los conceptos en el caso de la elipse. Ahora, ¿os atrevéis a generalizar los conceptos resolviendo un problema aplicado a la parábola?

El enunciado es el siguiente:

1.    Dada una parábola por su vértice y su foco determinar:

a)      Circunferencia focal y principal

b)      Tangente por el punto P de la curva

c)       Tangente por el punto R exterior

d)      Intersección con la recta r

enunciado

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PROCEDIMIENTO

Circunferencia focal: la circunferencia focal es, en este caso, una circunferencia de radio infinito, (una recta), que coincide con la directriz de la parábola. Según la definición de la parábola como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz, bastará con trazar una perpendicular al eje definido por F y V y hallar el simétrico O de F respecto de V. La perpendicular al eje por O es directriz y circunferencia focal de la curva.

Circunferencia principal: la circunferencia principal coincide con la tangente en el vértice V, es decir, la recta perpendicular al eje FV por V.

Tangente por P de la curva: 1. Hallamos un punto de la parábola, acudiendo a la condición de equidistancia de d y F. 2. Hallamos el punto F’ que está a igual distancia de P que F (simétrico de F respecto de la tangente buscada). 3. La tangente será la bisectriz de los radios focales FP y FP’

Tangente desde R exterior: los simétricos del foco respecto de las tangentes buscadas estarán sobre la directriz (circunferencia focal), estando a igual distancia de R que F. Las tangentes serán las mediatrices de la unión del foco F con sus simétricos F’’ y F’’’. Los puntos de tangencia estarán en la intersección de la perpendicular a la directriz por los simétricos con las tangentes halladas.

Intersección con r: Los puntos de intersección pertenecen a la parábola y, por ello, son centros de circunferencias que pasan por el centro y son tangentes a la circunferencia focal. De este modo, queremos hallar las circunferencias de centro sobre la recta, pasen por F y sean tangentes a la directriz. Al tener su centro en r, pasarán por F y su simétrico respecto de r, F’. Hemos reducido el problema al Problema Fundamental de Tangencias: buscamos los centros de las circunferencias tangentes a d que pasan por F y F1.

Podemos resolverlo por potencia: la recta FF’ es eje radical del haz de circunferencias que pasan por F y F’, r, su recta base. Por su parte, la directriz es eje radical de todas las circunferencias tangentes a ella. La intersección de ambos ejes radicales determina el centro radical de las circunferencias que pasando por F y F’ son tangentes a d. Bastará con trazar una circunferencia auxiliar que pase por F y F’ y hallar el segmento representativo de potencia desde Cr. Al trasladar dicha dimensión sobre d, se determinan los puntos de tangencia L y M. Los centros (puntos de intersección buscados) estarán en la perpendicular a d por dichos puntos y en la recta r; su intersección determina la solución.