Transformaciones por movimiento

¡Seguimos con transformaciones geométricas!

Decíamos en el artículo anterior, que las transformaciones geométricas por movimiento o isométricas, eran aquellas que conservan magnitudes y ángulos de la figura original como la traslación, el giro o la simetría. Son transformaciones extremadamente sencillas que, sin embargo, tienen una alta aplicación en el diseño. Por ejemplo, los mosaicos de Escher habitualmente incluyen trasformaciones por movimiento. Vamos a repasar algunos de sus elementos y propiedades fundamentales.

  

    Aplicación de transformaciones isométricas. Escher.

La traslación es un movimiento rectilíneo según un vector de traslación, de modo que cada punto de la figura original se desplaza una misma distancia sobre rectas paralelas. De este modo, trasladamos una figura cuando la desplazamos punto por punto en una dirección y un sentido determinado, una distancia dada. La figura final queda así dispuesta, orientada como la original y, por supuesto, mantiene las dimensiones y los ángulos de esta. Se puede decir, por tanto, que una traslación queda definida:

a)        Cuando se conocen un par de puntos AA’ homólogos. Con ello, conocemos la dirección, el sentido y la distancia de la transformación.

b)     Cuando se conoce la dirección y el vector de la traslación AA’.

Además, en la traslación se cumple:

1. La transformada de un segmento o de una recta es otro segmento o recta paralela.
2. Las rectas que unen los puntos homólogos son paralelas a la dirección de traslación.
3.      Cualquier figura original se transforma en otra igual. 

Por su parte, el giro es una transformación que implica un cambio de posición y de orientación en el plano. Para definirlo, necesitamos un punto fijo (O), centro de giro, un ángulo (θ) y un sentido (horario, antihorario). En él se cumplen tres propiedades fundamentales:

a) La distancia entre dos puntos homólogos al centro de giro es constante. (OA = OA’).

b) El ángulo de giro queda definido al unir los puntos homólogos con el centro de giro.

c) Las mediatrices de los segmentos que unen puntos homólogos se intersecan en el centro de giro O.

Por último, ¿os acordáis del espejo y la figura reflejada? La figura real y su imagen en el espejo podríamos considerar que constituyen una simetría en el espacio con respecto a un plano (la superficie del espejo). En general, decimos que dos figuras son simétricas cuando al girar una sobre otra coinciden. En el plano, si este giro se produce alrededor de un eje, hablamos de simetría axial; si se produce alrededor de un punto se trata de una simetría central. 

En la simetría axial, un punto y su simétrico equidistan del eje de simetría.  La recta que une puntos simétricos es perpendicular al eje de simetría. Además, las rectas simétricas se cortan en un punto del eje que, por tanto, es un punto doble.  

En la simetría central, los puntos simétricos están alineados y equidistan de un punto fijo: centro de simetría. Los segmentos simétricos son paralelos, orientados en sentido contrario. Además, la simetría central puede considerarse un giro de 180º o una homotecia de razón K=-1, pero eso es otra historia, a escribir en posteriores artículos.